Выделение полного квадрата это

процесс преобразования выражения в квадратный трехчлен. Для этого необходимо добавить и вычесть определенное число внутри выражения таким образом, чтобы получить полный квадрат. Например, для выражения x^2 + 6x + 9, чтобы сделать полный квадрат, нужно добавить и вычесть 9, таким образом мы получаем (x + 3)^2. Полученный квадратный трехчлен имеет много применений в математике, физике и других науках, так как он удобен для упрощения и анализа выражений.

Выделение полного квадрата — это метод преобразования квадратного уравнения или квадратного выражения в более удобную форму, которая позволяет легко решать уравнение или анализировать его свойства. Этот метод особенно полезен при решении квадратных уравнений, нахождении вершин парабол или интегрировании выражений.

Процесс выделения полного квадрата включает следующие шаги:

1. Начальная форма: Рассмотрим общее квадратное выражение вида ( ax^2 + bx + c ).

2. Приведение к стандартному виду: Если ( a \neq 1 ), то сначала упростите выражение, разделив все члены на ( a ), чтобы получить квадратное выражение в виде ( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} ).

3. Выделение полного квадрата:

   • Возьмите коэффициент при ( x ) в новом уравнении ((\frac{b}{a})), разделите его на 2 и возведите в квадрат. Это поможет сформировать полный квадрат.
   • Добавьте и вычтите этот квадрат в уравнении. Например, если у вас ( x^2 + 6x ), то вы добавите и вычтете ( (6/2)^2 = 9 ).

4. Перепишите выражение: Теперь у вас получится выражение, которое можно записать как полный квадрат. Например, из ( x^2 + 6x + 9 - 9 ) мы получаем ((x + 3)^2 - 9).

5. Упрощение: Если нужно, упростите выражение путем объединения постоянных членов или дальнейшего преобразования.

Пример:

Рассмотрим уравнение ( x^2 + 4x + 1 = 0 ).

1. Начнем с выделения полного квадрата для выражения ( x^2 + 4x ).
2. Коэффициент при ( x ) равен 4. Разделим его на 2 и возведем в квадрат: ((4/2)^2 = 4).
3. Добавим и вычтем этот квадрат: ( x^2 + 4x + 4 - 4 + 1 = 0 ).
4. Перепишем как полный квадрат: ((x + 2)^2 - 3 = 0).
5. Решим уравнение: ((x + 2)^2 = 3), следовательно, ( x + 2 = \pm\sqrt{3} ).
6. Получаем два решения: ( x = -2 + \sqrt{3} ) и ( x = -2 - \sqrt{3} ).

Выделение полного квадрата позволяет не только решать уравнения, но и помогает анализировать их, например, определяя вершину параболы ( y = ax^2 + bx + c ), которая оказывается в точке ( x = -\frac{b}{2a} ).